Vetenskap

Djupa fraktaler

2012-03-28 19:35 #0 av: piotrr

Benoit Mandelbrot var en matematiker som 1967 publicerade en vetenskaplig artikel som ställde vad som verkade vara en enkel fråga:Hur lång är Storbritanniens kust?

Hur lång är Storbritanniens kust?

När de flesta tänker på en sådan fråga tror jag att de tänker sig en båt som skall segla runt öarna och sedan titta på sin trippmätare för att se hur långt man behövde åka. Eller kanske att man tar en massa måttband och promenerar runt hela kusten och mäter den. Eller kanske tar ett långt, långt snöre och drar det runt hela kusten och sedan mäter snöret.

Problemet börjar uppenbara sig när man skall mäta alla utbuktningar och inbuktningar - varje vik och udde, varje grop och sten. Det visar sig att hur lång kusten är, beror på hur lång linjal man använder. Ju mindre mätsticka du använder, desto kortare avstånd kan du mäta, och när du lägger ihop dem, blir kusten längre ju mindre saker du kunde mäta.

Kusten kan därför liknas vid en fraktal: Den är ett stort föremål som består av många små detaljer, och ju närmare man tittar, desto fler detaljer uppenbarar sig.

 

Mandelbrot-fraktalen är egentligen bara ett mattetal. Ett ganska svårt mattetal kanske, men det roliga händer när man tar och ritar upp olika resultat av detta tal, denna ekvation, med olika koordinater. Ett mönster uppenbarar sig, som jag tror att ni alla redan sett någon gång.

Och mönstret bara fortsätter, ständigt nytt, ju djupare man går.

http://vimeo.com/6035941

I den här filmen är den minsta nivån, i slutet av filmen, så liten att om man hade visat hela bilden i den zoom-nivån, skulle bilden vara större än hela universum. Det ni.

 

Anmäl
2012-03-28 21:11 #1 av: robobengt

http://www.youtube.com/watch?v=gEw8xpb1aRA

 

En något liknande video kring "fenomenet" tonsatt till sången Mandelbrot Set av Jonathan Coulton.

Eftersom jag själv är ganska dålig på fraktalmatte kan jag inte uttala mig om huruvida han beskriver det korrekt, men oavsett hur rätt han har tycker jag i alla fall att det passar här.

Anmäl
2012-03-28 21:13 #2 av: piotrr

Jag älskar Coulton. I små doser. :)

Anmäl
2012-03-28 21:29 #3 av: robobengt

Kunde inte sagt det bättre själv. :)

Anmäl
2012-03-28 22:05 #4 av: Joppo

I 3D blir det ännu fräsigare: 

Anmäl
2012-03-29 10:42 #5 av: [trumman]

#4 3D Fraktaler!?

Det har jag inte sett sedan jag tittade på 2D-fraktaler på LSD!

Anmäl
2012-04-15 08:46 #6 av: [KosmosBill]

#0

Något händer när man tittar på denna vackra fraktal. Man sugs in i den på något sätt.

Verkar vara ett sätt att färdas till allt djupare skikt i medvetandet.

Hejdar man videon så fortsätter något att röra sig ändå. Kul upplevelse!

Anmäl
2012-04-15 13:27 #7 av: [ektoplasma]

#6 välkommen tilbaka herr S. var din resa till pleiaderna trevlig?

Anmäl
2012-04-15 17:51 #8 av: piotrr

När du stirrar på något som konstant rör sig i en viss riktning börjar din hjärna kompensera för rörelsen så att du skall kunna se vad det är som rör sig. Samma sak händer när du tittar ut genom tågfönstret. Den kompensationen hänger kvar en stund efter att det man tittar på har stannat, så att om du tittar ut genom fönstret en lång stund, och sedan tittar ner i din bok, så ser bokstäverna ut att långsamt röra sig i motsatt riktning jämfört med hur det var i tågfönstret.

Samma sak händer när du stirrar på denna eviga "zoom" som ser ut att komma emot oss i många, många minuter. När vi slutar titta ser vi bara våra ögons och hjärnas kompensation för rörelsen, och stillastående föremål kan se ut att röra sig bort ifrån oss.

Anmäl
2012-08-11 00:48 #9 av: Dr. Djig

#1 Om det är samma Coulton som skrev låten Curtains som medverkade i Myst IV Revelations så har han mitt godkännande!

Anmäl
2012-08-11 13:14 #10 av: piotrr

Det vet jag inte om han gjorde, men denne Coulton skrev musik för Portal, Portal 2 och är genomgående nördig och underbar.

 

Anmäl
2012-08-11 19:24 #11 av: robobengt

Han har även en bra låt om IKEA. Heja honom!

Anmäl
2012-08-11 23:50 #12 av: Dr. Djig

Nu har jag tabbat mig! Jag blandade av någon anledning i hop Jonathan Coulton med Peter Gabriel! Förstår inte hur det kunde gå till! Förlåt mig iFokus!

Anmäl
2012-08-15 23:46 #13 av: Zidizen

Hade resan varit kortare om kameran (i första videon) hade rört sig mot det "svarta hålet" 1:08....

Ett liknande svart mönster (eller två) dyker också upp i 2:16

 

Skulle man haka upp sig på filosofi-tanken om hur lång kusten är så skulle jag bara vara intresserad utav hur lång den är relaterat till mig som människa, och inte hur lång den är för en myra eller en mikrob.
Det borde väl döda den filosofi-diskussionen :)

Anmäl
2012-08-17 22:31 #14 av: piotrr

Coulton har nog lite gemensamt med Gabriel. De är båda lite galna. Eller. Mycket galna. :)

Anmäl
2012-08-17 22:32 #15 av: piotrr

#13, Zidizen,

Det betyder fortfarande att kusten blir kortare ju längre steg du tar.

Anmäl
2012-08-20 12:27 #16 av: Zidizen

#15

Nej piotrr. Med största sannolikhet behåller kusten fortfarande sin längd oavsett vilken längd på stegen jag tar.
Eller har du magiska steglängder kanske?

Däremot kan tiden för att nå fram till destinationen kortas beroende på vilken hastighet stegen tas runt kusten.

Två helt skilda saker

Anmäl
2012-08-20 20:22 #17 av: JonasDuregard

"Däremot kan tiden för att nå fram till destinationen kortas beroende på vilken hastighet stegen tas runt kusten."

Den uppmätta längden ändras också. Om du räknar ut längden genom steglängd*antal steg så kan du få olika resultat beroende på hur långa steg du tar (givetvis trots olika antal steg).

Men du trollade kanske bara nu (det där med magiska steg låter inte så seriöst) och i så fall föll jag för det Glad.

Medarbetare på Skepticism, Vetenskap och Andlig Skepticism

Anmäl
2012-08-20 23:01 #18 av: ru4real

Tar fraktalteorin hänsyn till ev tidvatten? Mäter man innan eller efter? Bara en liten passus. Men wikipediaartikeln om kustmätning var intressant. Och bevisar att längden beror på hur noggrant man mäter (kortfattning av mig)

http://sv.wikipedia.org/wiki/En_kuststr%C3%A4ckas_l%C3%A4ngd

Anmäl
2012-08-21 11:35 #19 av: Zidizen

#17

Jonas... du citerar mig och bygger vidare på ett uppenbar exempel som inte alls bygger på huvudfrågan.
Du blandar in här med egna påhittade mått. Så klart att den uppmätta längden räknat från eget huvud varierar beroende på sina egna tagna steg. Man kan lägga fram en massa olika exempel, t.ex. att gå baklänges också kan mycket väl få olika uppmätta längder MEN det påverkar fortfarande inte på kustens längd.
Jag förstår inte vitsen med ditt inlägg och att du valde citera just mig - Är detta något du argumenterar emot eller ville du bara visa oss att du kan lägga fram ytterligare ett exempel?

Du skriver också att magiska steg inte låter seriöst. Om någon kan korta kustens längd enbart genom sina steg (Hur seriöst är det att påstå sådant??) så får du gärna förklara detta för mig om det nu inte vore helt magiskt!

Varsågod, svara du, eftersom du valde hellre att kommentera mitt inlägg och inte piotrr #15, så får jag anta att du medhåller honom.
Du kan också förklara vad du menar med att jag kanske trollar med att nämna magiska steg.

Anmäl
2012-08-21 13:15 #20 av: JonasDuregard

"Jonas... du citerar mig och bygger vidare på ett uppenbar exempel som inte alls bygger på huvudfrågan. "

Det finns ingen huvudfråga här. Inget som är minsta kontroversiellt har presenterats. Jag försökte förklara för dig vad Piotrr menade.

"Man kan lägga fram en massa olika exempel, t.ex. att gå baklänges också kan mycket väl få olika uppmätta längder MEN det påverkar fortfarande inte på kustens längd. "

Det är en helt annan sak. Det som avses är den (om man tänker efter) självklara saken att när man tar kortare steg får man (i regel) högre precision, det är inget kontroversiellt med det och jag ser inte hur man kan missuppfatta det utan att medvetet anstränga sig för att inte förstå..

"Du skriver också att magiska steg inte låter seriöst. Om någon kan korta kustens längd enbart genom sina steg (Hur seriöst är det att påstå sådant??) så får du gärna förklara detta för mig om det nu inte vore helt magiskt!"

När du läser "kusten blir kortare" skall du nog tolka det som "resultatet av mätningen av kusten blir kortare". Om du gör det kommer allt falla på plats skulle jag tro. Piotrr menar alltså inte att det "verkliga" avståndet (eller någon annan fysisk egenskap hos själva kusten) ändras, bara att det uppmätta avståndet gör det. Om det här var ett ärligt missförstånd ber jag om ursäkt för att jag anklagade dig för att medvetet missförstå (a.k.a. trolla).

Jag skulle vilja inflika att kusten även kan blir längre av längre steg under vissa omständigheter. Men i allmänhet så gäller att när steglängden går mot noll så gör även mätfelet det.

Medarbetare på Skepticism, Vetenskap och Andlig Skepticism

Anmäl
2012-08-21 14:09 #21 av: Zidizen

Jonas, det är kul att du anstränger dig att tolka vad piotrr menar. Det är säkert så som du säger, men igen...
Är det påhittad mått som vi diskuterar om här?
Är det bara för den enskilde individens måttuppfattning vi diskuterar här?

Detta är lite luddigt tycker jag och jag tycker fortfarande man kan döda filosofin med att nämna det jag skrev i mitt inlägg #13

Sedan hur många steg det skulle ta för piotrr, för dig eller mig för att kunna räkna ut kustens längd är bara intressant för individen som gjorde mätningen. Standardmått som meter och yard skulle bilda en bättre uppfattning för den större skaran i överlag.
Standardmått som millimeter eller mikrometer eller nanometer är bara onödigt vetande, och om man ska räkna trekvarts, ett halvt varv eller ett kvarts varv runt en sten är också bara en onödig precision... vilket troligen var hela poängen med tråden... om just precision....

MEN

Det jag ville få fram med mitt första inlägg är bara det simpla som jag skrev där, och piotrr kommenterar bara med ett förvirrande en-meningsinlägg som en annan måste tolka - fantastiskt :)

 

...Hade varit intressant att se bemötningen om en annan inte lika känd/omtyckt på sidan skulle skriva en likadan en-meningskommentar

Anmäl
2012-08-21 14:31 #22 av: olaka

#21

Prova att läsa här, så kanske det klarnar:
http://en.wikipedia.org/wiki/How_Long_Is_the_Coast_of_Britain%3F_Statistical_Self-Similarity_and_Fractional_Dimension

Medarbetare på Skepticism.

Finns på Twitter som @Ola_i_Lyckan. Medlem i VoF, Vänsterpartiet samt GAST Spelförening.

Anmäl
2012-08-21 15:35 #23 av: Zidizen

Olaka - För att vara första gången jag läser den sidan som du länkar till så finns där en mening som överensstämmer med det jag redan har skrivit. Hade du läst det jag skrev så hade du kanske insett att det egentligen redan var klart för mig ;)

"This discussion implies that it is meaningless to talk about the length of a coastline; some other means of quantifying coastlines are needed."

men tack ändå för länken

Anmäl
2012-08-21 15:52 #24 av: JonasDuregard

"Är det påhittad mått som vi diskuterar om här?

Är det bara för den enskilde individens måttuppfattning vi diskuterar här?

Detta är lite luddigt tycker jag och jag tycker fortfarande man kan döda filosofin med att nämna det jag skrev i mitt inlägg #13

Sedan hur många steg det skulle ta för piotrr, för dig eller mig för att kunna räkna ut kustens längd är bara intressant för individen som gjorde mätningen. Standardmått som meter och yard skulle bilda en bättre uppfattning för den större skaran i överlag."

Vi mäter i meter, det var därför jag sa att man multiplicerar antalet steg med steglängden. Om det är stegen som förvirrar dig så kan vi byta det mot linjaler. Om du använder en linjal som är en meter får du ett annat resultat än om du använder en linjal som är en halv meter (vi mäter alltså bara hela linjallängder åt gången).

"...Hade varit intressant att se bemötningen om en annan inte lika känd/omtyckt på sidan skulle skriva en likadan en-meningskommentar"

?

Du gör verkligen ditt yttersta för att göra en höna av en fjäder verkar det som. När det dessutom inte finns någon fjäder ens Glad.

Jag tycker saken är utredd nu så jag håller mig nog borta från den här diskussionen. Zidizen: jag förkalrar gärna vad som menas med olika saker men när du bara blir otrevlig och kommer med osammanhängande anklagelser så avstår jag hellre.

Medarbetare på Skepticism, Vetenskap och Andlig Skepticism

Anmäl
2012-08-21 16:35 #25 av: Zidizen

Jonas, ingen här är otrevlig vad jag kan uppfatta det som, fastän du hade benämningen "trollade" i ditt inlägg riktad mot mig.

Linjaler är också mycket mer tillförlitlig än steg. Mänskliga fristående steg kan som bekant variera flera cm.


Jag står fortfarande för det jag skrev i mitt första inlägg här inne som också blev mer förklarad i mina efterföljande inlägg. Så det är klart att den diskussionen du lade fram är sedan långt länge utredd innan du påbörjade den ;)
(Lägger till en smiley så meningen inte uppfattas som sträng
och otrevlig)

 

Angående din sista paragraf så är det inte helt avsaknad av en höna faktiskt. Då jag har märkt av vid minst ett tillfälle där jag skrev något som har blåst upp överdrivet bortom resonabel utmärkelse. Inte ens jag skulle göra en sådan omedveten uppblåsning.

Anmäl
2012-08-21 22:03 #26 av: piotrr

#16, Zidizen,

> "Nej piotrr. Med största sannolikhet behåller kusten fortfarande sin längd oavsett vilken längd på stegen jag tar."

I den här tråden diskuterar vi fraktaler. Om du också vill diskutera fraktaler och innebörden förståelsen av fraktaler har på sådana saker som kartritning eller geografi, så föreslår jag att du också läser om och diskuterar fraktaler, hellre än att försöka påstå att ditt sunda förnuft och okunskap om fraktaler skulle vara bättre på något sätt. :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

(Hoppas du kan engelska.)

Anmäl
2012-08-21 22:21 #27 av: piotrr

Förlåt, det blev lite väl syrligt.

Vi säger såhär istället:

"Att mäta en kuststräckas längd är ett fraktalt problem, resultatet av mätningen beror nämligen (i de allra flesta fall) på längden på måttstocken som används vid det givna tillfället. Problemet presenterades först år 1967 av Benoît Mandelbrot i skriften How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension."

http://sv.wikipedia.org/wiki/En_kuststräckas_längd

 

Det låter ju väldigt "osannolikt" att det skulle spela någon roll vilken sorts eller vilken längd på linjal man använder för att mäta något. Men föreställ dig att du skall mäta insidans omkrets i en skål. Om du använder en lång linjal får du nog inte plats med linjalen i skålen och får nöja dig med att mäta skålens diameter och gånga med två. Om du istället har två korta linjaler kan du mäta från ena sidan, till en av innersidorna, och så runt om var 90nde grad. Då har du egentligen bara mätt omkretsen på en fyrkant som får plats i skålen. För att verkligen mäta insidan skulle du behöva väldigt många små linjaler, eller ett snöre som följer skålens insida.

Men även då skulle snöret inte helt exakt följa skålens insidas varenda lilla skrymsle, och mätningen skulle bli pyttelite fel.

 

Samma sak händer när du försöker mäta en kust. Från ett flygplan ser den kanske rak ut, eller bara lite kurvig, men om du står nere på kusten ser du dels att det finns en massa vikar och ojämnheter som du aldrig hade kunnat mäta med ögat från flygplanet, och dels finns det småstenar ute i vattnet lite här och var. För att få en korrekt mätning måste du därför bestämma både hur långt du skall mäta, och hur smått. Och försök inte använda ett snöre - det skulle gå åt otroliga mängder snöre om du skall följa varenda kurva som ett snöre skulle kunna följa.

 

En av lärdomarna är: Lita inte på att det som låter osannolikt skulle vara fel.

Anmäl
2012-08-21 23:26 #28 av: [Hallona]

Lita inte på att det som låter osannolikt skulle vara fel.

Varför skulle man?!

Osannolikhet har väl aldrig varit någon indikator på att något är fel.

Anmäl
2012-08-22 11:42 #29 av: [Starman]

#27

Gud. Jag satt verkligen och funderade allvarligt på om jag skulle rita upp någon grafik med en tänkt kuststräcka, kopiera grundbilden och sedan lägga ut "linjaler" av olika längder (fast samma längd på samtliga "linjaler" per kopia såklart) längs med denna, men det svar du nyss gav tror jag inte går att misstolka även fast man (Zidizen) är ute efter det.

(Edit: "Gud" där i början var inte ett tilltal till dig, bara så att ingen får för sig det, utan snarare ett uttryck för min uppgivenhet inför Zidizen's ovilja att ta till sig det som skrivs.)

Anmäl
2012-08-22 21:42 #31 av: piotrr

#28, Hallona,

Jadu, fråga någon som tycker så. :) Världen är full av människor som tycker att saker är självklara trots att de är fel.

Anmäl

Det finns en till kommentar till den här diskussionen. Den är bara synlig för medlemmar på iFokus. För att läsa kommentaren, logga in eller registrera dig på iFokus.